Funkcja liniowa
funkcja liniowa na matfiz24.pl
funkcja liniowa na matemaks.pl
Rysowanie wykresów funkcji
www.matemaks.pl
www.marspe.eu
Wzory skróconego mnożenia
opracowania.pl
Okrąg opisany na trójkącie
Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta:
Kąty w kole
Twierdzenie Talesa
Zacznijmy od tego kim był Tales
Tales z Miletu (ok.620 - ok.540 p.n.e.), grecki filozof i matematyk, prawdopodobnie pierwszy uczony i filozof europejski. Jeden z twórców jońskiej filozofii przyrody. Urodził się w Milecie (miasto greckie na wybrzeżu Azji Mniejszej). Potrafił praktycznie wykorzystać swoją wiedzę matematyczną i astronomiczną. Korzystał także z nauk uczonych egipskich i holenderskich. Przepowiedział zaćmienie Słońca 28 maja 585 roku p.n.e. Prawdopodobnie był autorem żeglarskiej mapy gwiazd. Na podstawie obserwacji ciał niebieskich potrafił podobno przewidzieć wielki zbiór oliwek. Odbył liczne podróże handlowe, najczęściej do Egiptu. Na podstawie długości rzucanego cienia obliczył wysokość piramidy, badał istotę zjawiska magnesu, stwierdził, że średnica dzieli okrąg na 2 połowy oraz że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Odkrył, że w przypadku dwóch linii prostych przecinających się przeciwległe kąty są równe, a także, że kąt wpisany w półkole jest kątem prostym. Tales był inicjatorem związku miast jońskich z siedzibą w Teos. Wyjaśnień praw przyrody poszukiwał w samej przyrodzie. Sądził, że pierwotną postacią świata i jego właściwością naturalną jest woda. Tales uznawany był powszechnie za jednego z siedmiu mędrców, a dowodem tego stało się powiedzenie "To istny Tales".
Tales z Miletu (ok.620 - ok.540 p.n.e.), grecki filozof i matematyk, prawdopodobnie pierwszy uczony i filozof europejski. Jeden z twórców jońskiej filozofii przyrody. Urodził się w Milecie (miasto greckie na wybrzeżu Azji Mniejszej). Potrafił praktycznie wykorzystać swoją wiedzę matematyczną i astronomiczną. Korzystał także z nauk uczonych egipskich i holenderskich. Przepowiedział zaćmienie Słońca 28 maja 585 roku p.n.e. Prawdopodobnie był autorem żeglarskiej mapy gwiazd. Na podstawie obserwacji ciał niebieskich potrafił podobno przewidzieć wielki zbiór oliwek. Odbył liczne podróże handlowe, najczęściej do Egiptu. Na podstawie długości rzucanego cienia obliczył wysokość piramidy, badał istotę zjawiska magnesu, stwierdził, że średnica dzieli okrąg na 2 połowy oraz że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Odkrył, że w przypadku dwóch linii prostych przecinających się przeciwległe kąty są równe, a także, że kąt wpisany w półkole jest kątem prostym. Tales był inicjatorem związku miast jońskich z siedzibą w Teos. Wyjaśnień praw przyrody poszukiwał w samej przyrodzie. Sądził, że pierwotną postacią świata i jego właściwością naturalną jest woda. Tales uznawany był powszechnie za jednego z siedmiu mędrców, a dowodem tego stało się powiedzenie "To istny Tales".
Pod nazwą "twierdzenie Talesa" kryje się twierdzenie geometryczne mówiące, że:
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu.
|
 | Jeżeli k||l, to:  |
Działania na liczbach wymiernych
Propozycja zadań z rozwiązaniami:
E - zadania DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH
Niedziesiątkowe systemy liczenia
System dwójkowy nazywany także binarnym
Dwójkowy system liczbowy to system pozycyjny o podstawie "2". Zapis liczb odbywa się przy użyciu cyfr "0" i "1".
Np. zapis (1001)2= 1*23+ 0*22+ 0*21+ 1*20=(9)10
Taki jest zasadniczy sposób przedstawienia kodu dwójkowego, łatwiej zrozumieć działanie tego kodu przy zaprezentowaniu innego sposobu na przeliczanie kodu.
Wyobraźmy sobie, że chcemy zapisać liczbę dziesiętną "sześć" (6)10 w kodzie binarnym. Aby to zrobić można podzielić tę liczbę przez 2 aż wynik osiągnie zero. Czyli:
6 |2 to 3 reszty 0 bo (3*2)= 6
3 |2 to 1 reszty 1 bo (1*2)+ 1(reszty)=3
1 |2 to 0 reszty 1 MSB bo (0*2)+ 1=1
Naszym wynikiem jest wynik reszty. Zapis kodu dwójkowego rozpoczynamy od MSB czyli po kolei wypisując resztę "od dołu do góry" wyjdzie nam 110.
Np. zapis (1001)2= 1*23+ 0*22+ 0*21+ 1*20=(9)10
Taki jest zasadniczy sposób przedstawienia kodu dwójkowego, łatwiej zrozumieć działanie tego kodu przy zaprezentowaniu innego sposobu na przeliczanie kodu.
Wyobraźmy sobie, że chcemy zapisać liczbę dziesiętną "sześć" (6)10 w kodzie binarnym. Aby to zrobić można podzielić tę liczbę przez 2 aż wynik osiągnie zero. Czyli:
6 |2 to 3 reszty 0 bo (3*2)= 6
3 |2 to 1 reszty 1 bo (1*2)+ 1(reszty)=3
1 |2 to 0 reszty 1 MSB bo (0*2)+ 1=1
Naszym wynikiem jest wynik reszty. Zapis kodu dwójkowego rozpoczynamy od MSB czyli po kolei wypisując resztę "od dołu do góry" wyjdzie nam 110.
(6)10=(110)2
System ósemkowy (oktalny)
Oktalny system ma podstawę równą "8". Zapis liczb odbywa się przy użyciu cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7
Np. zapis (30)8= 3*81+ 0*80 = (24)10
Zamianę liczb dziesiętnych na oktalne wykonujemy takim samym sposobem jak w kodzie binarnym. Dzielimy liczbę dziesiętną przez "8" aż wynik z dzielenia będzie równy "0", pamiętając, że reszta może tym razem przybierać wartości od "0" do "7" włącznie.
Oto przykład:
Np. zapis (30)8= 3*81+ 0*80 = (24)10
Zamianę liczb dziesiętnych na oktalne wykonujemy takim samym sposobem jak w kodzie binarnym. Dzielimy liczbę dziesiętną przez "8" aż wynik z dzielenia będzie równy "0", pamiętając, że reszta może tym razem przybierać wartości od "0" do "7" włącznie.
Oto przykład:
Zapis szesnastkowy (heksadecymalny)
Ten system ma podstawę oczywiście "16". Zapis liczb odbywa się przy użyciu następujących cyfr i znaków: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
gdzie:
A- oznacza "10"
B- 11
C- 12
D- 13
E- 14
F- 15
Co to znaczy? Otóż to, że np. liczba (13)10 = (D)16
W takim razie np (1A)16 = (26)10
Dzielimy podobnie jak w poprzednich systemach pamiętając o wartościach jakie przybiera reszta i pamiętając o tym by 10, 11, itd. zapisywać jako A, B itd...
gdzie:
A- oznacza "10"
B- 11
C- 12
D- 13
E- 14
F- 15
Co to znaczy? Otóż to, że np. liczba (13)10 = (D)16
W takim razie np (1A)16 = (26)10
Dzielimy podobnie jak w poprzednich systemach pamiętając o wartościach jakie przybiera reszta i pamiętając o tym by 10, 11, itd. zapisywać jako A, B itd...
